Cel ćwiczeń I Opis ćwiczeń I Statystyka opisowa I Wnioskowanie statystyczne I Bibliografia




 



TEST NIEZALEŻNOŚCI CHI-KWADRAT (TEST c2)

 

Test niezależności chi-kwadrat stosowany jest w przypadku badania niezależności cech niemierzalnych (jakościowych) lub w przypadku badania niezależności cechy jakościowej z ilościową.

 

Załóżmy, że przedmiotem badania jest populacja generalna. Z populacji tej pobrano n-elementową próbę (przy czym ważne jest, by n>30), której wyniki sklasyfikowano w postaci tablicy wg jednej cechy w r wierszach i  wg drugiej cechy w k  kolumnach. Wnętrze tablicy niezależności stanowią liczebności nij elementów próby, które spełniają jednocześnie kryteria zawarte w  i-tym wierszu i k-tej kolumnie. Tablica niezależności jest podstawą weryfikacji nieparametrycznej hipotezy zerowej głoszącej, że w populacji nie ma zależności między cechami (zmiennymi) X i Y. Hipotezę tę można zapisać zgodnie z pojęciem niezależności zmiennych losowych w sposób następujący:

 

H0; P (X = xi, Y = yj) = P (X = xi). P(Y = yj), czyli, że cechy X i Y są niezależne oraz

H1; P (X = xi, Y = yj) ą P (X = xi). P(Y = yj), czyli, że cechy X i Y są zależne,

 

przy przyjętym poziomie istotności a.

 

Do weryfikacji powyższych hipotez stosuje się statystykę c2, której wartość liczymy ze wzoru:

gdzie:

nij - liczba elementów próby,
- liczebności teoretyczne,
k - liczba kolumn tablicy niezależności,
r - liczba wierszy tablicy niezależności.


Liczebności teoretyczne oblicza się wg wzoru:

gdzie:

nij - liczba elementów próby,
- liczebności teoretyczne,
k - liczba kolumn tablicy niezależności,
r - liczba wierszy tablicy niezależności.

Z tablic rozkładu chi-kwadrat odczytujemy wartość statystyki c2 odczytaną przy poziomie istotności a i przy (r-1)(k-1) stopniach swobody, czyli:

Obszar krytyczny (prawostronny) wyznacza nierówność

 

Jeżeli c2 ł c2a; (r - 1)(k - 1)  - Ho odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej

Jeżeli c2 < c2a; (r - 1)(k - 1)  - Nie ma podstaw do odrzucenia Ho o niezależności cech

 

jest miarą rozbieżności między rozkładem zaobserwowanym a hipotecznym (empirycznym a teoretycznym).

Wartości chi-kwadrat zależą od:

  1. natężenia (siły) związku badanych cech - im większe różnice między liczebnością empiryczną a teoretyczną, tym większa wartość chi-kwadrat i tym samym większa zależność między cechami,
  2. od wielkości próby, przy czym chi-kwadrat liczymy tylko dla dużych prób,
  3. od stopnia szczegółowości danych (przy czym w każdym polu tabeli powinno być co najmniej 5, a więc czasami trzeba łączyć wiersze lub kolumny).

 

Przykład

Modele ekonometryczne | Prognozowanie i symulacje | Ekonometria |