PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE

 I TWIERDZENIE BAYESA

Prawdopodobieństwo całkowite

Przyjmijmy założenie, że zajście zdarzenia B jest uwarunkowane zajściem jednego spośród n wzajemnie wykluczających się zdarzeń A_i (gdzie i = 1, 2, ..., n),  które zajmują całą przestrzeń zdarzeń elementarnych (przy czym P(A_i)>0). W tym przypadku prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B określamy jako prawdopodobieństwo całkowite i obliczamy z następującego wzoru:

gdzie:

P(B) - prawdopodobieństwo całkowite zajścia zdarzenia B,

P(A_i) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A_i,

P(B/A_i) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B uwarunkowane zajściem jednego spośród nwzajemnie wykluczających się zdarzeń A_i.

Prawdopodobieństwa P(A_i) nazywane są prawdopodobieństwami a priori i odgrywają ważną rolę w zagadnieniach dotyczących podejmowania decyzji w warunkach niepewności. Przykładowo pewna firma otrzymuje dostawy od kilku dostawców i część każdej z dostaw zawiera wadliwe lub nie spełniające wymogów produkty. Wzory na prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite pozwalają wyznaczyć dostawcę od którego pochodzi najwięcej wadliwych produktów i dzięki temu firma może podjąć decyzję z którym z dostawców kontynuować współpracę, a z którym tą współpracę przerwać.

Twierdzenie Bayesa

Po zrealizowaniu zdarzenia B interesuje nas jakie będzie prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń A_i. Odpowiedź na to pytanie uzyskamy stosując do obliczeń wzór Bayesa, który ma następującą postać:

gdzie:

P(B) - prawdopodobieństwo całkowite zajścia zdarzenia B,

P(A_i) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A_i,

P(B/A_i) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B uwarunkowane zajściem jednego spośród n wzajemnie wykluczających się zdarzeń A_i,

P(A_i/B) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A_i po zrealizowaniu zdarzenia B.

Wzór Bayesa jest określany jako wzór na prawdopodobieństwo a posteriori, czyli prawdopodobieństwo po nastąpieniu zdarzenia B.

Przykład