PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARIANCJI
| Dana jest populacja generalna o rozkładzie | 
|
o nieznanych parametrach m oraz |  .
|
Z populacji tej pobrano próbę, na
podstawie której oszacujemy przedział ufności dla wariancji oraz odchylenia
standardowego przy współczynniku ufności 
.
Konstrukcję przedziału ufności dla nieznanej wariancjidokonamy opierając się na statystyce:
|
, która ma rozkład k  o n-1 stopniach swobody.
|
o n-1 stopniach swobody można znaleźć dwie wartości 
oraz
| Podstawiając za | 
|
oraz dokonując pewnych przekształceń, otrzymujemy: |
Dysponując danymi z próby
(liczebnością i wariancją) oraz po odczytaniu odpowiednich wartości z tablic
rozkładu statystyki 
, oszacujemy przedział
ufności dla wariancji w populacji generalnej. Obliczając pierwiastek
kwadratowy z otrzymanych powyżej wartości, uzyskamy przedział ufności dla
odchylenia standardowego. Powyższe postępowanie prowadzi się, gdy estymacji
przedziałowej odchylenia standardowego dokonuje się na podstawie małych prób 
.
W przypadku dużych
prób 
, przedział ufności dla odchylenia standardowego wyznacza się
ze wzoru:
| przy czym | 
|
odczytujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego tak, że | 
|
Otrzymany wynik liczbowy estymacji przedziałowej wariancji lub odchylenia standardowego interpretuje się następująco:
Z prawdopodobieństwem 1 - a (lub przy poziomie ufności 1 - a) przedział wartości liczbowych od ... do ... pokrywa nieznana wartość parametru (wariancji lub odchylenia standardowego) w populacji generalnej.
W praktyce największą wartość mają przedziały o możliwie najmniejszej długości i jak największym poziomie ufności 1-a. Jednocześnie spełnienie tych dwóch wymagań jest możliwe tylko poprzez zwiększanie liczebności próby (tym samym rozszerzamy swoją wiedzę o badanym zjawisku). Im większa liczebność próby, tym krótszy przedział ufności. Przyjęcie bardzo wysokiego poziomu (współczynnika) ufności nie jest zbyt korzystne, gdyż zwiększanie współczynnika ufności (a w związku z tym zmniejszanie poziomu istotności a) wydłuża przedział. Tym samym zmniejsza się dokładność estymacji. Im krótszy jest przedział ufności, tym dokładniejsza jest estymacja przedziałowa.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
|
|
|
|
|
|
|
|
0,00 |
0,000 |
1,00 |
0,3413 |
2,00 |
0,4773 |
|
0,05 |
0,0199 |
1,05 |
0,3531 |
2,05 |
0,4798 |
|
0,10 |
0,0398 |
1,10 |
0,3643 |
2,10 |
0,4821 |
|
0,15 |
00596 |
1,15 |
0,3749 |
2,15 |
0,4842 |
|
0,20 |
0,0793 |
1,20 |
0,3849 |
2,20 |
0,4861 |
|
0,25 |
0,01987 |
1,25 |
0,3944 |
2,25 |
0,4878 |
|
0,30 |
0,1179 |
1,30 |
0,4032 |
2,30 |
0,4893 |
|
0,35 |
0,1368 |
1,35 |
0,4115 |
2,35 |
0,4906 |
|
0,40 |
0,1554 |
1,40 |
0,4192 |
2,40 |
0,4918 |
|
0,45 |
0,1736 |
1,45 |
0,4265 |
2,45 |
0,4929 |
|
0,50 |
0,1915 |
1,50 |
0,4332 |
2,50 |
0,4938 |
|
0,55 |
0,2088 |
1,55 |
0,4394 |
2,55 |
0,4946 |
|
0,60 |
0,2257 |
1,60 |
0,4452 |
2,60 |
0,4953 |
|
0,65 |
0,2422 |
1,65 |
0,4505 |
2,65 |
0,4960 |
|
0,70 |
0,2580 |
1,70 |
0,4554 |
2,70 |
0,4965 |
|
0,75 |
0,2734 |
1,75 |
0,4599 |
2,75 |
0,4970 |
|
0,80 |
0,2881 |
1,80 |
0,4641 |
2,80 |
0,4974 |
|
0,85 |
0,3023 |
1,85 |
0,4678 |
2,85 |
0,4978 |
|
0,90 |
0,3159 |
1,90 |
0,4713 |
2,90 |
0,4981 |
|
0,95 |
0,3289 |
1,95 |
0,4744 |
2,95 |
0,4984 |
|
|
|
|
|
3,00 |
0,4987 |
Modele ekonometryczne | Prognozowanie i symulacje | Ekonometria |
