Przykład
Przykład 1 - mała próba
Zbudować przedział ufności dla wariancji oraz odchylenia standardowego wagi paczek kawy w całej populacji wyrobów, jeśli wiadomo, że w 20-elementowej próbie otrzymano średnią równą 100,2g i wariancję równą 2,4. Zakłada się, że rozkład wagi paczek jest rozkładem normalnym. Za poziom istotności należy przyjąć a=0,1.
Oprócz powyższych danych należy
jeszcze odczytać wartości z tablic rozkładu statystyki 
dla n-1=20-1=19 stopni swobody oraz
i
które są równe
oraz
Przedział ufności dla wariancji szacujemy wg wzoru:
Ostatecznie otrzymamy
Przedział liczbowy (1,513; 4,506) pokrywa z prawdopodobieństwem 0,90 nieznaną wartość wariancji wagi paczek kawy w całej populacji wyrobów.
Estymacji przedziałowej odchylenia standardowego dokonujemy poprzez pierwiastkowanie granic przedziału ufności dla wariancji:
,
czyli
Otrzymany wynik interpretujemy następująco:
Przedział wartości liczbowych od 1,23g do 2,123g pokrywa z ufnością 0,90 nieznaną wartość odchylenia standardowego paczek kawy w populacji generalnej.
Zobaczmy, co dzieje się przy zmianie poziomu
istotności z 0,1 na 0,05. Odczytujemy wartości z tablic rozkładu
statystyki 
dla n-1=20-1=19 stopni swobody oraz
i
które są równe
oraz
Przedział ufności dla wariancji szacujemy wg wzoru:
Ostatecznie otrzymamy
Przedział liczbowy (1,388; 5,119) pokrywa z prawdopodobieństwem 0,95 nieznaną wartość wariancji wagi paczek kawy w całej populacji wyrobów.
Estymacji przedziałowej odchylenia standardowego dokonujemy poprzez pierwiastkowanie granic przedziału ufności dla wariancji:
czyli
Przedział wartości liczbowych od 1,178g do 2,262g pokrywa z ufnością 0,95 nieznaną wartość odchylenia standardowego paczek kawy w populacji generalnej.
Zauważmy, że przy zmniejszaniu poziomu istotności (z 0,1 do 0,05) rozszerzeniu ulegają granice przedziału - przy poziomie istotności a=0,1 przedział ufności dla wariancji w populacji generalnej obejmował wartości od 1,23g do 2,123g, natomiast przy poziomie istotności a=0,05 przedział ufności stanowią wartości od 1,178g do 2,262g. Można więc zwężać lub rozszerzać przedział ufności parametru w populacji generalnej kosztem prawdopodobieństwa.
Przykład 2 - duża próba
Opierając się na wynikach z próby, zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego miesięcznych zarobków. Do próby wybrano w sposób losowy 120 osób. Średnie miesięczne zarobki wynoszą 1250zł z odchyleniem standardowym równym 155 zł. Za poziom ufności przyjąć 1-a=0,9.
Ponieważ próba jest duża (n=120), szacując przedział ufności będziemy posługiwać się wzorem:
Przedział ufności dla odchylenia standardowego przedstawia się następująco:
czyli
Ostatecznie otrzymamy:
Z ufnością 0,90 przedział liczbowy (140,144; 173,572) pokrywa nieznaną wartość odchylenia standardowego miesięcznych zarobków w populacji generalnej.
Dokonamy teraz estymacji przedziałowej odchylenia standardowego przy poziomie istotności a=0,05 Z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego
Przedział ufności dla odchylenia standardowego przedstawia się następująco:
czyli
Ostatecznie otrzymamy:
Z ufnością 0,95 przedział liczbowy (137,655; 177,345) pokrywa nieznaną wartość odchylenia standardowego miesięcznych zarobków w populacji generalnej.
Ponownie zauważamy, że im mniejszy jest poziom istotności (czyli prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju), tym "szerszy" przedział ufności parametru w populacji generalnej. Zwiększając prawdopodobieństwo (poziom istotności a), zwężamy tym samym przedział ufności.
Modele ekonometryczne | Prognozowanie i symulacje | Ekonometria |