WYBRANE ROZKŁADY ZMIENNEJ LOSOWEJ DYSKRETNEJ (SKOKOWEJ)
Zmienną losową nazywa się funkcję rzeczywistą określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i mierzalną względem ciała zdarzeń Z.
Zmienną losową X jest funkcja, która każdemu zdarzeniu elementarnemu eÎE przyporządkowuje liczbę rzeczywistą X(e)ÎR.
Zmienna losowa, której zbiór wartości jest zbiorem przeliczalnym nazywamy zmienną losową dyskretną inaczej skokową. Każda zmienna losowa jest jednoznacznie określona za pomocą dystrybuanty. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest to funkcja zdefiniowana w następujący sposób: F(x) = P(X < x).
Własności dystrybuanty F(x) zmiennej X są następujące:
1) 0 Ł F(x) Ł 1,
2) F(x) jest funkcją niemalejącą,
3) F(x) jest funkcją przynajmniej lewostronnie ciągłą,
4) 
.
Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej X przedstawia się następująco:
gdzie:
xi - wartości, jakie przyjmuje zmienna X,
pi - prawdopodobieństwa, z jakimi wartości te mogą być przyjmowane.
Zmienne losowe można charakteryzować za pomocą pewnych parametrów. Najważniejszymi parametrami są wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej X.
Wartość oczekiwana (inaczej przeciętna) E(X) = m jest to wartość, wokół której skupiają się realizacje zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku wielokrotnie powtarzanego eksperymentu.
Wartość oczekiwana zmiennej losowej skokowej X jest określona za pomocą wzoru:
gdzie:
E(X) - wartość oczekiwana zmiennej losowej X,
xi - wartości, jakie przyjmuje zmienna X,
pi - prawdopodobieństwa, z jakimi wartości te mogą być przyjmowane.
Wariancja zmiennej losowej X jest miarą rozproszenia wartości zmiennej wokół wartości średniej. Im jest ona mniejsza, tym bardziej wartości zmiennej skupiają się wokół wartości oczekiwanej E(X).
Wariancję zmiennej losowej skokowej X można określić za pomocą jednego z następujących wzorów:
gdzie:
D2(X) - wariancja zmiennej losowej X,
E(X) - wartość oczekiwana zmiennej losowej X,
xi - wartości, jakie przyjmuje zmienna X,
pi - prawdopodobieństwa, z jakimi wartości te mogą być przyjmowane.
Odchylenie standardowe zmiennej losowej X jest to pierwiastek z wariancji:
gdzie:
D2(X) - wariancja zmiennej losowej X,
D(X) - odchylenie standardowe zmiennej losowej X.
Modele ekonometryczne | Prognozowanie i symulacje | Ekonometria |