Zadanie przykładowe
W pewnym przedsiębiorstwie X wylosowano 100 pracowników i dokonano rejestracji ich nieobecności w pracy w pierwszym kwartale 2002 roku. Otrzymane dane zawiera poniższa tablica:
Tab. Struktura liczby nieobecności wśród pracowników firmy X
 |
Zakładając, że rozkład liczby dni nieobecności w pracy jest rozkładem Poissona, proszę wyznaczyć jego dystrybuantę oraz obliczyć prawdopodobieństwo, że pracownik będzie cały czas obecny w pracy oraz prawdopodobieństwo, że pracownik będzie nieobecny w ciągu kwartału mniej niż trzy dni.
Przez X oznaczamy zmienną losową, którą jest liczba dni nieobecności pracowników firmy A w ciągu kwartału. Aby wyznaczyć prawdopodobieństwa odpowiadające poszczególnym wartościom zmiennej należy najpierw obliczyć wartość parametru l.
Wartość l jest sumą iloczynów wartości, jakie przyjmuje zmienna losowa X i prawdopodobieństwa, z jakimi są te wartości przyjmowane:
Znając wartość parametru l, możemy obliczyć prawdopodobieństwa odpowiadające poszczególnym wartościom realizacji zmiennej losowej:
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej można opisać za pomocą dystrybuanty: F(x) = P(X < x), którą dla zmiennej losowej skokowej wyrazimy:
W tym celu sumujemy wartości prawdopodobieństwa dla poszczególnych dni nieobecności pracownika w pracy i otrzymujemy następujące wyniki:
| F(x) = | 
|
0 dla
x Ł
0 0,111 dla 0 < x Ł 1 0,355 dla 1 < x Ł 2 0,623 dla 2 < x Ł 3 0,82 dla 3 < x Ł 4 0,928 dla 4 < x Ł 5 0,976 dla 5 < x Ł 6 0,993 dla 6 < x Ł 7 1 dla x > 7 |
gdzie:
F(0) = P(X < 0) = 0
F(1) = P(X < 1) = P(X = 0) = 0,111
F(2) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,111 + 0,244 = 0,355
F(3) = P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,111+ 0,244 + 0,268 = 0,623
F(4) = P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,111 + 0,244 + 0,268 + 0,197 = 0,82
F(5) = P(X < 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,111 + 0,244 + 0,268 + 0,197 + 0,108 = 0,928
F(6) = P(X < 6) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,111 + 0,244 + 0,268 + 0,197 + 0,108 + 0,048 = 0,976
F(7) = P(X < 7) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 0,111 + 0,244 + 0,268 + 0,197 + 0,108 + 0,048 + 0,017 = 0,993
F(8) = P(X < 8) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 0,111 + 0,244 + 0,268 + 0,197 + 0,108 + 0,048 + 0,017 + 0,007 = 1.
Prawdopodobieństwo tego, że pracownik będzie cały czas obecny w pracy oznacza prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość zero P(X = 0) i wynosi 0,111.
Prawdopodobieństwo, że pracownik będzie nieobecny w ciągu kwartału mniej niż trzy dni wynosi:
Obliczone prawdopodobieństwa można również znaleźć, korzystając z tablic rozkładu Poissona. W tablicach tych dla danej wartości parametru l i wybranej wartości k można odczytać prawdopodobieństwa P(X = k). W związku z tym zostaną obliczone teraz interesujące nas prawdopodobieństwa przy wykorzystaniu tablic. Aby obliczyć P(X = 0), należy w tablicach rozkładu Poissona znaleźć dla k = 0 i l = 2,2 P(X = 0), które wynosi 0,111.
Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej niż 3 nie może być odczytane bezpośrednio z tablic. Najpierw odczytujemy z tablic trzy wartości:
P(X = 0) dla k = 0 i l = 2,2 wynosi 0,111,
P(X = 1) dla k = 1 i l = 2,2 wynosi 0,244,
P(X = 2) dla k = 2 i l = 2,2 wynosi 0,268,
a następnie obliczamy:
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,111 + 0,244 + 0,268 = 0,623