Przykład

W pewnym mieście w bieżącym roku otwartych zostało 8 nowych hipermarketów, ale tylko 2 z nich cieszy się dobrą opinią wśród klientów. Pewna osoba zakupiła ten sam produkt w czterech nowopowstałych hipermarketach. Przez zmienną losową X oznaczmy liczbę produktów zakupionych w hipermarketach cieszących się dobrą opinią.Proszę znaleźć rozkład i dystrybuantę zmiennej losowej X, a także prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych czterech produktów znajdą się dwa zakupione w sklepach o dobrej opinii oraz prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych czterech produktów znajdzie się przynajmniej jeden zakupiony w sklepie o dobrej opinii.

Zmienna losowa X może przyjmować wartości 0, 1, 2, ponieważ tylko 2 hipermarkety cieszą się dobrą opinią. N = 8, ponieważ powstało 8 nowych hipermarketów, R = 2, ze względu na to, że tylko 2 hipermarkety cieszą się dobrą opinią, a n = 4, ponieważ osoba zakupiła ten sam towar w 4 hipermarketach. Rozkład zmiennej losowej jest następujący:

Rozkład ten można przedstawić w postaci tabeli:

Tab. Rozkład hipergeometryczny zmiennej losowej X

Źródło: opracowanie własne

lub graficznie za pomocą wykresu:

Dystrybuanta zmiennej losowej ma następującą postać:

F(x)=

0                 dla x Ł 0 0,214            dla 0 < x Ł 1 0,785           dla 1 < x Ł 2 1                   dla x > 2

gdzie:

F(0) = P(X < 0) = 0

F(1) = P(X < 1) = P(X = 0) = 0,214

F(2) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,214 + 0,571 = 0,785

F(3) = P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)  = 0,214 + 0,571 + 0,215 = 1

Z kolei prawdopodobieństwo tego, że wśród zakupionych czterech produktów znajdzie się przynajmniej jeden zakupiony w sklepie z dobrą opinią należy obliczyć w następujący sposób:

Parametry zmiennej losowej X przyjmują wartości: