Przedziały ufności i testy statystyczne dla zmiennych losowych ciągłych

Zostaną rozważone następujące przypadki z możliwości A i B:

A. Pojedyncza próba

(a) s - znane, próba mała

(b) s - nieznane, próba mała

B. Dwie próby

(a) znane,

(b) nieznane, ale równe

Dane liczbowe

Źródło: Główny Urząd Statystyczny/dane gospodarcze z lat 1999/2000

Począwszy od roku 1992 w Polsce ceny nośników energii, tj. gazu, energii elektrycznej, ciepła w postaci gorącej wody, paliw stałych i płynnych, wody komunalnej systematycznie rosną. Zgodnie z przewidywaniami tempo wzrostu cen tychże nośników jest wyższe niż tempo wzrostu cen pozostałych dóbr konsumpcyjnych. Chociaż koszty zakupu nośników energii w Polsce zbliżyły się już znacznie do kosztów pozyskania energii w wysokorozwiniętych krajach Europy Zachodniej, należy spodziewać się dalszych jej podwyżek.

CENY ZAKUPU NOŚNIKÓW ENERGII W PODSTAWOWYCH DZIAŁACH I GAŁĘZIACH
WYSZCZEGÓLNIENIE	Rok 1999	Rok 2000
	ENERGIA ELEKTRYCZNA
	zł / MWh	zł / MWh
GÓRNICTWO I KOPALNICTWO	216,9	237,8
DZIAŁALNOŚĆ PRODUKCYJNA	133,6	155,4
PRODUKCJA ARTYKUŁÓW SPOŻYWCZYCH I NAPOJÓW	153,6	162,8
PRODUKCJA WYROBÓW TYTONIOWYCH	185,1	197,8
PRODUKCJA TKANIN	157	155,2
PRODUKCJA ODZIEŻY ORAZ FUTRZARSTWO	166,8	175,8
OBRÓBKA SKÓRY I PRODUKCJA WYROBÓW ZE SKÓRY	223,2	242,9
PRODUKCJA DREWNA I PRODUKTÓW Z DREWNA ORAZ ZE SŁOMY I WIKLINY	212,8	224,5
PRODUKCJA CELULOZOWO-PAPIERNICZA	186,3	184,3
DZIAŁALNOŚĆ WYDAWNICZA I POLIGRAFICZNA	138,2	148,4
PRODUKCJA KOKSU,PRZETWORÓWROPY NAFTOWEJ I POCHODNYCH	192,3	199,7
WYTWARZANIE PRODUKTÓW KOKSOWANIA WĘGLA	140,6	147,7
WYTWARZANIE PRODUKTÓW RAFINACJI ROPY NAFTOWEJ	137	150,7
PRODUKCJA CHEMIKALIÓW I WYROBÓW CHEMICZNYCH	144,7	146,8
PRODUKCJA WYROBÓW Z GUMY I TWORZYW SZTUCZNYCH	138,1	146,1
PRODUKCJA WYROBÓW Z POZOSTAŁYCH SUROWCÓW NIEMETALICZNYCH	168,8	184,1
PRODUKCJA METALI	148,1	161,2
PRDUKCJA WYROBÓW Z METALI(BEZ MASZYN I URZĄDZEŃ)	130,6	141,2
PRODUKCJA MASZYN I URZĄDZEŃ	193,5	194,8
PRODUKCJA MASZYN BIUROWYCH I KOMPUTERÓW	186,8	198
PRODUKCJA MASZYN I APARATURY ELEKTRYCZNEJ	180,1	203,9
PRODUKCJA SPRZĘTU I APARATURY RADIOWEJ,TELEWIZYJNEJ I KOMUNIKACYJNEJ	162,7	170,2
PRODUKCJA POJAZDÓW MECHANICZNYCH PRZYCZEP I NACZEP	151,5	161,3
PRODUKCJA POZOSTAŁEGO SPRZĘTU TRANSPORTOWEGO	172,6	189,4
PRODUKCJA MEBLI;POZOSTAŁA DZIAŁALNOŚĆ PRODUKCYJNA	170,2	178,2
ZAGOSPODAROWANIE ODPADÓW	200,8	217,1
ZAOPATRYWANIE W ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ GAZ I WODĘ	177,2	184,5
BUDOWNICTWO	133,7	140
TRANSPORT,SKŁADOWWANIE I ŁĄCZNOŚĆ ORAZ HANDEL I NAPRAWY	190,2	187,8

Aby badać dane z obu lat urealnię dane z 2000 roku biorąc pod uwagę inflację, która jak podaje GUS w 2000 roku wyniosła 10,4%.

Dane z 2000 roku urealniam dzieląc przez 1,104:

CENY ZAKUPU NOŚNIKÓW ENERGII W PODSTAWOWYCH DZIAŁACH I GAŁĘZIACH
WYSZCZEGÓLNIENIE	Rok 1999	Rok 2000
	ENERGIA ELEKTRYCZNA
	zł / MWh	zł / MWh
GÓRNICTWO I KOPALNICTWO	216,9	215,4
DZIAŁALNOŚĆ PRODUKCYJNA	133,6	140,8
PRODUKCJA ARTYKUŁÓW SPOŻYWCZYCH I NAPOJÓW	153,6	147,5
PRODUKCJA WYROBÓW TYTONIOWYCH	185,1	179,2
PRODUKCJA TKANIN	157	140,6
PRODUKCJA ODZIEŻY ORAZ FUTRZARSTWO	166,8	159,2
OBRÓBKA SKÓRY I PRODUKCJA WYROBÓW ZE SKÓRY	223,2	220
PRODUKCJA DREWNA I PRODUKTÓW Z DREWNA ORAZ ZE SŁOMY I WIKLINY	212,8	203,4
PRODUKCJA CELULOZOWO-PAPIERNICZA	186,3	166,9
DZIAŁALNOŚĆ WYDAWNICZA I POLIGRAFICZNA	138,2	134,4
PRODUKCJA KOKSU,PRZETWORÓWROPY NAFTOWEJ I POCHODNYCH	192,3	180,9
WYTWARZANIE PRODUKTÓW KOKSOWANIA WĘGLA	140,6	133,8
WYTWARZANIE PRODUKTÓW RAFINACJI ROPY NAFTOWEJ	137	136,5
PRODUKCJA CHEMIKALIÓW I WYROBÓW CHEMICZNYCH	144,7	133
PRODUKCJA WYROBÓW Z GUMY I TWORZYW SZTUCZNYCH	138,1	132,3
PRODUKCJA WYROBÓW Z POZOSTAŁYCH SUROWCÓW NIEMETALICZNYCH	168,8	166,8
PRODUKCJA METALI	148,1	146
PRDUKCJA WYROBÓW Z METALI(BEZ MASZYN I URZĄDZEŃ)	130,6	127,9
PRODUKCJA MASZYN I URZĄDZEŃ	193,5	176,4
PRODUKCJA MASZYN BIUROWYCH I KOMPUTERÓW	186,8	179,3
PRODUKCJA MASZYN I APARATURY ELEKTRYCZNEJ	180,1	184,7
PRODUKCJA SPRZĘTU I APARATURY RADIOWEJ,TELEWIZYJNEJ I KOMUNIKACYJNEJ	162,7	154,2
PRODUKCJA POJAZDÓW MECHANICZNYCH PRZYCZEP I NACZEP	151,5	146,1
PRODUKCJA POZOSTAŁEGO SPRZĘTU TRANSPORTOWEGO	172,6	171,6
PRODUKCJA MEBLI;POZOSTAŁA DZIAŁALNOŚĆ PRODUKCYJNA	170,2	161,4
ZAGOSPODAROWANIE ODPADÓW	200,8	196,6
ZAOPATRYWANIE W ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ GAZ I WODĘ	177,2	167,1
BUDOWNICTWO	133,7	126,8
TRANSPORT,SKŁADOWWANIE I ŁĄCZNOŚĆ ORAZ HANDEL I NAPRAWY	190,2	170,1

Wykres liniowy danych

Charakterystyki liczbowe:

	Rok 1999	Rok 2000
Średnia	168,7241	162,0315
Błąd standardowy	4,999925	4,845336
Mediana	168,8	161,413
Odchylenie standardowe	26,92542	26,09293
Wariancja próbki	724,9783	680,8411
Kurtoza	-0,87285	-0,38881
Skośność	0,318551	0,575798
Zakres	92,6	93,20652
Minimum	130,6	126,8116
Maksimum	223,2	220,0181
Suma	4893	4698,913
Licznik	29	29
Największy(1)	223,2	220,0181
Najmniejszy(1)	130,6	126,8116

Histogramy zmiennych

Wykres pudełkowy rok2000:

Wykres pudełkowy rok1999:

Problem (a)

Przedział ufności (s - znane, próba mała)

Znajduję przedziały ufności dla średniej przy różnych poziomach istotności alfa:

n =	średnia	sigma	alfa	1- alfa/2	ualfa	L,1alfa	śr - L1	śr + L1	dł. prz
29	168,72	25	0,05	0,975	1,96	9,09907	159,625	177,82	18,198
29	168,72	25	0,1	0,95	1,64	7,61351	161,111	176,34	15,227
29	168,72	25	0,01	0,995	2,58	11,9773	156,747	180,7	23,955

Hipoteza zerowa(s - znane, próba mała)

Sprawdzamy hipotezę H0 mówiącą że średnia jest statystycznie równa zadanej średniej:

n =	29	29	29	29	29
mo, 0 =	166	167	168	169	170
sigma =	25	25	25	25	25
alfa =	0,05	0,05	0,05	0,05	0,1
1- alfa/2 =	0,975	0,975	0,975	0,975	0,95
ualfa =	1,96	1,96	1,96	1,96	1,64
średnia =	168,72	168,72	168,72	168,72	168,72
u =	0,5448276	0,34483	0,1448	-0,0552	-0,2552
H0	nie odrz	nie odrz	nie odrz	nie odrz	nie odrz

W żadnym z przypadków Hipotezy Ho nie odrzucamy, gdyż wartość obliczonej statystyki nie znalazła się w obszarze krytycznym .

Możemy uznać, iż średnie m0 są statystycznie równe średniej tej zmiennej na zadanych poziomach istotności.

Problem (b)

Przedziały ufności dla średniej (s - nieznane, próba mała)

Obliczam przedziały ufności dla różnych poziomów istotności:

n =	29	29	29
średnia =	168,72	168,72	168,72
od. stand.=	26,93	26,93	26,93
alfa =	0,01	0,05	0,1
t,alfa	2,76	2,05	1,70
L,2alfa =	13,816	10,242	8,506
śr - L2 =	154,908	158,482	160,219
śr + L2 =	182,540	178,966	177,230
dł	27,632	20,484	17,011

Hipoteza zerowa(s - nieznane, próba mała)

Sprawdzamy hipotezę H0 mówiącą że średnia jest statystycznie równa zadanej średniej:

n =	29	29	29
mi,0 =	160	160	160
średnia =	168,72	168,72	168,72
od. stand.=	26,93	26,93	26,93
alfa =	0,01	0,05	0,1
t,alfa	2,7633	2,0484	1,7011
t =	1,715	1,715	1,715

Na poziomach istotności 0,01 oraz 0,05 przyjmujemy hipotezę Ho mówiącą, iż średnia statystycznie jest równa 160 natomiast już przy poziomie istotności 0,1 hipotezę Ho musimy odrzucić.

Problem (d)

Wyznaczę przedziały ufności wariancji dla różnych poziomów istotności alfa=0,1 (0,05 i 0,01)

n =	29	29	29
od. stand.=	26,93	26,93	26,93
SSX =	20299,4	20299,4	20299,4
alfa =	0,1	0,05	0,01
alfa/2 =	0,05	0,025	0,005
1-alfa/2 =	0,95	0,975	0,995
chi,alfa/2 =	41,3372	44,4608	50,9936
chi,1-alfa/2=	16,9279	15,3079	12,4613
L =	508,60716	472,874	412,29465
P =	1241,997	1373,44	1687,1758

A. Dwie próby

Zakładam normalność rozkładu badanych zmiennych:

Sprawdzanie równości wariancji testem F

Test F: z dwiema próbami dla wariancji

	Rok1999	Rok2000
Średnia	168,72414	162,0315
Wariancja	724,97833	680,8411
Obserwacje	29	29
df	28	28
F	1,0648275
P(F<=f) jednostronny	0,4345914
Test F jednostronny	1,8820785

Ponieważ F< Test F (kwatyl rozkładu normalnego) nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy ho mówiącej o równości wariancji obu zmiennych.

Problem (a)

Oszacuję przedział ufności dla różnicy średnich ( s - znane, próba mała):

	2003	2005
n	29	29
średnie	168,72	162,03
wariancje	625	600
sw	6,50
alfa	0,05
1-alfa	0,95
kwantyl N(0, 1)	1,644
różnica śred	6,693
L4	10,685
lewa strona	-3,992
prawa strona	17,378

Problem (b)

Oszacuję przedział ufności dla różnicy średnich ( s - nieznane, próba mała):

Średnia	168,72414	162,0315
Odchylenie standardowe	26,925422	26,09293
Wariancje	724,97833	680,8411
SSX	20299,393	19063,55
h	56
sw2	8,267
sw	2,88
alfa	0,05
t,alfa	2,0032394
L5	5,7596902
lewa strona	0,9329635
prawa strona	12,452344

Test t: z dwiema próbami zakładający równe wariancje.

Testuję czy różnica średnich jest różna od zera:

	Rok 1999	Rok 2000
Średnia	168,72414	162,0315
Wariancja	724,97833	680,8411
Obserwacje	29	29
Wariancja sumaryczna	702,90972
Różnica średnich wg hipotezy	0
df	56
t Stat	0,9612416
P(T<=t) jednostronny	0,1702815
Test T jednostronny	1,6725221
P(T<=t) dwustronny	0,340563
Test t dwustronny	2,0032394

Hipoteza nie odrzucona czyli różnica między średnimi statystycznie nie różni się od zera.

Problem (c)

Test t: z dwiema próbami zakładający nierówne wariancje

	Rok 1999	Rok 2000
Średnia	167,95714	162,0315
Wariancja	734,13735	680,8411
Obserwacje	28	29
Różnica średnich wg hipotezy	0
df	55
t Stat	0,8405699
P(T<=t) jednostronny	0,2021142
Test T jednostronny	1,6730337
P(T<=t) dwustronny	0,4042284
Test t dwustronny	2,0040443

Hipoteza Ho nieodrzucona.

Przedziały ufności i testy statystyczne; testowanie hipotez

Przedziały ufności i testy statystyczne dla zmiennych losowych ciągłych

A. Pojedyncza próba

Dane liczbowe

A. Dwie próby