Miary klasyczne i pozycyjne

Miary średnie klasyczne i pozycyjne

Miary średnie (położenia) dzielimy na:

1) klasyczne

a. średnia arytmetyczna

b. średnia harmoniczna

c. średnia geometryczna

d. inne

2) pozycyjne

a. modalna (dominanta)

b. kwartyle

i. kwartyle (kwartyl pierwszy; drugi – mediana oraz trzeci)

ii. decyle

iii. percyle

iv. inne

Miarami pozycyjnymi szczegółowo zajmiemy się w następnym punkcje.

Średnia arytmetyczna prosta
jest to suma wartości cechy mierzalnej podzielona przez liczbę jednostek skończonej zbiorowości (próby) statystycznej

dla próby, dla całej zbiorowości

Wzór ten jest prawdziwy gdy dane są w postaci szeregu szczegółowego lub w ogóle nieuporządkowane.

Średnia arytmetyczna ważona

Stosujemy ją dla szeregów rozdzielczych punktowych lub przedziałowych według wzorów:

a. szereg punktowy

stosunek sumy iloczynów wartości cechy i ilość jej wystąpienia przy danej wartości cechy do sumy liczebności wszystkich wystąpień cechy

b. szereg przedziałowy

- środek i-tego przedziału

Własności średniej arytmetycznej:

- teoretyczna (abstrakcyjna) wielkość niekoniecznie występująca w danej zbiorowości lub próbie

- wielkość mianowana – gdyż ma takie samo miano jak badana cecha

- - w szeregu szczegółowym
suma różnic (odchyleń) poszczególnych wartości cechy od ich średniej arytmetycznej jest równa 0

- - w szeregu rozdzielczym punktowym
suma ważonych (odchyleń) poszczególnych wartości cechy od ich średniej arytmetycznej jest równa 0

- - w szeregu przedziałowym

Spośród wielu stałych jedynie średnia arytmetyczna spełnia następujący warunek:

Szereg szczegółowy	Szereg punktowy	Szereg przedziałowy

Obliczanie średnich arytmetycznych:

1) Prosta
Oblicz średnią ocen: 3, 4, 4+, 4+, 5
, więc

2) Ważona

a. w szeregu punktowym

Ocena
2	10	20
3	51	153
3+	70	145
4	20	80
5	8	40
suma	159	538

, więc

a. w szeregu przedziałowym


0 – 2	10	1	10
2 – 4	20	3	60
4 – 6	40	5	200
6 – 8	60	7	420
8 – 10	40	9	460
10 – 12	20	11	220
12 – 14	10	13	130
Suma	200		1400

, więc

Dominanta (modalna) – D, D_o, M_o – (średnia pozycyjna) wartość cechy statystycznej występująca najczęściej w badanym rozkładzie empirycznym. Jest to cecha mianowana.

Odczytujemy ją z szeregu, który wariant zachodzi najczęściej dla szeregu szczegółowego i rozdzielczego punktowego.

Przykład 1 – szereg szczegółowy

Badamy 15 klientów kiosku z prasą. Wydają oni w nim następujące kwoty w zł:

12, 15, 9, 8, 10, 10, 10, 9, 10, 6, 12, 13, 14, 9,18

D = 10 zł.

Przykład 2 – szereg punktowy

x – liczba dzieci pracowników pewnego przedsiębiorstwa

Liczba dzieci – x	Liczba pracowników - n_i
0	12
1	23
2	30	D = 2 dzieci
3	25
4	10
	100

Przykład 3 – szereg przedziałowy

Dla szeregu przedziałowego dominantę liczymy według następującego wzoru:

- początek przedziału dominanty

- liczebność przedziału dominanty

- liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty

- liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty

- rozpiętość przedziału dominanty

Badamy pracowników pod względem premii:

Wyskokość premii	Liczba pracowników	n_isk
220 – 300	11	11
300 – 380	16	27
380 – 460	28	55
460 – 540	26	81
540 – 620	16	97
620 – 700	3	100
Razem	100

Własności dominanty:

- nie można jej wyznaczyć w szeregach, w których występuje więcej niż jedno maksimum liczebności.
12, 15, 9, 8, 9, 15, 12, 14 - trimodalny

- w szeregu rozdzielczym przedziałowym nie możemy wyznaczyć dominanty gdy rozpiętość przedziałów dominanty oraz przedziałów bezpośrednio z nią sąsiadujących są różne.

- W szeregu rozdzielczym przedziałowym nie wyznaczamy dominanty algebraicznie jeśli występuje w skrajnych przedziałach (gdy rozkład badanej cechy jest skrajnie asymetryczny)

Graficzna metoda wyznaczania dominanty – wykreślenie histogramu liczebności rozkładu

Zadanie

Wyniki sprawdzianu testowego z matematyki pierwszego studenta były lepsze od średniej obliczonej dla pięcioosobowej grupy o 2 punkty. Drugiego niższy o 1,5 punkty, trzeciego wyższy o 1,5 pkt, czwartego wyższy o 0,5 pkt. Jaki wynik uzyskali poszczególni studenci jeżeli średnia arytmetyczna wynosiła 20 pkt.?

Skorzystajmy z własności:

, tak więc

Kwartyle

wartości cechy statystycznej, które dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek i części te pozostają do siebie w określonych proporcjach.

Kwartyle -

–	dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości poniżej bądź równe kwartylowi, a pozostałe 75% wyższe bądź równe kwartylowi pierwszemu.
–	mediana – dzieli zbiorowość na dwie równe zbiorowości; połowa jednostek ma wartości poniżej lub równe medianie, a druga połowa większe lub równe medianie.
–	dzieli w ten sposób, że 75% - wartości mniejsze bądź równe, 25% większe bądź równe.

Decyle – dzielą zbiorowość na 10 równych części

Percentyle – dzielą zbiorowość na 100 równych części

Dla szeregu szczegółowego medianę wyznaczamy ze wzoru:

Żeby odnaleźć medianę trzeba uporządkować szereg (szczegółowy).

a) 6, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 13, 14, 15, 18

zł

Wyznaczając kwartyle pierwszy i trzeci dla szeregu a) postępujemy następująco:

zł

Mediana dla szeregu rozdzielczego punktowego - wyznaczamy liczebności skumulowane

Liczba dzieci –	Liczba pracowników -
0	12	12
1	23	35
2	30	65
3	25	90
4	10	100
	100	X

Wyznaczamy najpierw numer mediany

Odnajdujemy teraz w liczebnościach skumulowanych pierwszą liczbę większą, bądź równą 50 i odczytujemy dla niej wartość cechy (wariant klasy w którym znalazła się osoba o .

Wniosek: Połowa pracowników ma dwójkę dzieci lub mniej, a druga połowa pracowników ma dwójkę dzieci lub więcej.

Mediana dla szeregu przedziałowego:

- początek przedziału mediany

- numer mediany

- liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany

- liczebność przedziału mediany

- rozpiętość przedziału mediany

Zbadajmy ponownie pracowników pod względem premii

Wyskokość premii	Liczba pracowników	n_isk
220 – 300	11	11
300 – 380	16	27
380 – 460	28	55
460 – 540	26	81
540 – 620	16	97
620 – 700	3	100
Razem	100

zł

Kwartyl pierwszy:

Kwartyl trzeci:

Wskazówki dotyczące stosowania mediany:

- Mediana oraz pozostałe kwartyle mogą być obliczane w tych przypadkach w których niemożliwe jest obliczenie średniej arytmetycznej lub dominanty

- Mediana nie reaguje na nietypowe wartości cech statystycznych

- Mediana posiada własność:

- W szeregach symetrycznych spełniony jest warunek:

W sytuacji wystąpienia szeregów z otwartymi przedziałami klasowymi (pojawiają się przy bardzo dużych rozpiętościach) rozpiętość szacunkowa – stała rozpiętośc przedziału wyraża się wzorem: , k – liczba przedziałów.

Jeśli mamy orientacje co do maksimum czy minimum danej cechy, to możemy domknąć przedziały, jeśli domkniemy to możemy wyznaczyć średnią arytmetyczną

Jeśli nie znamy tych wartości to rezygnujemy ze średniej arytmetycznej na rzecz mediany

Zadanie:

Wyznacz medianę i dominantę w szeregu ocen z kartkówki: 4, 4+, 3, 5-, 2, 3, 3

Uporządkujmy go:

Do = 3

Ponieważ jest nieparzysta liczba obserwacją więc Me = 3

Średnia arytmetyczna wynosi około 3,5

Zadanie:

W pewnym przedsiębiorstwie mediana zarobków wynosiła 2 500 zł i znajdowała się w przedziale od 2 400 do 3 000. Pensje z tego przedziału miło 20% pracowników. Jaki procent pracowników zarabiał mniej niż 3 000zł.



2400-3000	20%
3000 więcej		100
suma	100	Xxx

= 2500zł

= 2400zł

zł

=20

więc

Aby obliczyć ilu pracowników zarabiało nie miej niż 3000 zł należy wykonać zsumować znaną już wartość skumulowaną przedziału poprzedzającego przedział mediany z liczebnością przedziału mediany.

67 osób zarabiało nie mniej niż 3 000zł.