Miary asymetrii

 

Wyślij formularz z plikiem

Statystyka zadania - oferta badań statystycznych

Analizy danych

Wykonuję analizy struktury, współzależności oraz dynamiki zjawisk. Badania wariancji, regresji liniowej i nieliniowej, korelacji, analiza rozkładu..

Testy statystyczne

Testowanie hipotez to
fundament większości
badań stanowiących
przedmiot statystyki.
Weryfikuję hipotezy
..

Oprogramowanie statystyczne

Używam wielu spośród znanych programów mi.n SttaisticaPL, Gretl, Statgraf, SPSS ,  i inne.

 
   

Wyślij do mnie formularz (klik Enter).

 

Możesz w nim załączyć dowolny plik tekstowy : doc (Word), .pdf (Acrobat Reader), txt , xls (Excel) lub inny.

Podaj też Twoje oczekiwania i adres email, na który mam odpowiedzieć.

Miary asymetrii

 

Miary asymetrii

 

Kolejnym etapem analizy struktury jest badanie asymetrii, zdarza się bowiem, że badanie średniego poziomu cechy i rozproszenia jej wartości nie wskazuje na istnienie różnic między porównywanymi zbiorowościami. Okazuje się bowiem, że istotne są przeciętny poziom i wewnętrzne zróżnicowanie cechy, ale także to czy przeważająca liczba badanych jednostek ma wartości cechy powyżej czy też poniżej przeciętnego poziomu cechy. Punktem wyjścia analizy kierunku i siły asymetrii jest wzajemne położenie względem siebie dwóch miar średnich – średniej arytmetycznej i dominanty.

 

1)     

2)       (asymetria prawostronna - dodatnia)

3)       (asymetria lewostronna - ujemna)

 

Wzajemne położenie średniej, mediany i dominanty:

Różnica pomiędzy średnią arytmetyczną i dominantą mówi nam w zasadzie, wyłącznie o kierunku asymetrii, natomiast nie mówi nam o sile asymetrii. W porównaniach struktury zbiorowości do określenia zarówno siły jak i kierunku asymetrii stosuje się tzw. współczynnik lub wskaźnik skośności (miara klasyczna)

Współczynnik skośności zawiera się zazwyczaj w przedziale

Im wartość bezwzględna współczynnika skośności bliższa jest 0 tym asymetria jest słabsza.

Im wartość bezwzględna współczynnika skośności bliższa jest 1 tym asymetria jest silniejsza.

 

Weźmy np. , , znak asymetrii mówi nam o kierunku asymetrii, a wartość bezwzględna o jej sile.

 

Są sytuacje gdy stosuje się wyłącznie pozycyjne miary asymetrii.

 

 

 

Miary asymetrii przedstawione za pomocą miar pozycyjnych

1)       - szereg symetryczny

2)       - asymetria prawostronna

3)       - asymetria lewostronna

 

Dla potrzeb porównań kierunków i siły asymetrii zastosujemy
pozycyjny współczynnik asymetrii

 

 - pozycyjny obszar zmienności cechy – obejmuje on 50% średkowe, odrzuca 25% początkowe i 25% końcowe.

 

Pozycyjny współczynnik asymetrii ma podobną interpretację jak współczynnik skośności i też na ogół zawiera się w przedziale .

 

W porównaniach stosujemy miary jednoimienne.

Do klasycznych współczynników asymetrii należy współczynnik asymetrii, daje on najlepszy obraz rzeczywistości, więc jest bardziej preferowany od wskaźnika skośności!
(to jest BARDZO WAŻNE!!)

- może być ujemne

- nie może być zerem

 

Ze względu na pracochłonność obliczeń współczynnik A jest stosowany dość rzadko.

 

W szeregach łagodnie (!!) asymetrycznych stasujemy tzw. zależność Pearsona

 

Zadanie:

Wypowiedz się na temat:

a)      średniego poziomu

b)      zróżnicowania

c)      asymetrii

dysponując następującymi danymi:

 

 - staż pracy

 - liczba pracowników

Do 6

10

10

6 – 9

15

25

9 – 12

30

55

12 – 15

25

80

15 i więcej

20

100

 

Obliczmy więc medianę, dominantę, kwartyl pierwszy i trzecie, odchylenie ćwiartkowe, współczynnik zmienności oparty o odchylenie ćwiartkowe oraz pozycyjny współczynnik asymetrii.

 

Mediana

 

Dominanta

Widać, że zawiera się ona w przedziale 9 – 12lat.

 

 

Kwartyl pierwszy

Widać, że zawiera się on w przedziale w którym kumulacja sięga 25 osób

 

Kwartyl trzeci

Widać, że zawiera się on w przedziale w którym kumulacja sięga 80 osób

 

Odchylenie ćwiartkowe

 

Współczynnik zmienności oparty o odchylenie ćwiartkowe

 

Pozycyjny współczynnik asymetrii

 

 

Usystematyzujmy otrzymane parametry w tabeli i zinterpretujmy je

 

Parametr

Wartość

Me

11,5lat

Do

11,25lat

QI

9lat

QIII

14,4lat

Q

2,7lat

VQ

23,5

AQ

0,074

 

-               Połowa pracowników ma staż pracy nie większy niż 11,5 lat, a druga połowa nie mniejszy niż 11,5 lat.

-               Najwięcej pracowników ma 11,25 letni staż pracy.

-               25% pracowników ma staż pracy nie większy niż 9 lat, a 75% pracowników ma staż nie mniejszy niż 9 lat

-               75% pracowników ma staż pracy nie większy niż 14,4 lata, natomiast 25% pracowników ma staż nie mniejszy niż 14,4 lat.

-               Przeciętne odchylenie od mediany stażu pracy środkowych pracowników (50% po odrzuceniu z obu stron skrajnych 25%) wynosi 2,7 lat.

-               Średnio przeciętnie poszczególne wartości cechy różnią się od mediany o 23,5% (współczynnik odchylenia ćwiartkowego stanowi 25% mediany)

-               Asymetria jest bardzo słaba, dodatnia; większość badanej zbiorowości ma staż pracy mniejszy od średniej. (rysunek 16)

 

Zadanie:

W dwóch szkołach średnich A i B rywalizujących ze sobą w turnieju wiedzy historycznej przeprowadzono test wiadomości. Wyniki testu podano w punktach. W turnieju brało udział po 200 uczniów szkół A i B.
Uczniowie szkoły A uzyskali przeciętnie 8,5pkt., odchylenie standardowe wyniosło 1,7pkt., najczęściej występującym wynikiem testu było 10pkt, mediana mieściła się w przedziale 8 – 10pkt.., który reprezentowało 80 uczniów, a 40 uczniów uzyskało mniej niż 8pkt.
Wyniki szkoły B przedstawia szereg:

 

Wyniki

Liczba uczniów

0 – 2

10

2 – 4

20

4 – 6

40

6 – 8

60

8 – 10

40

10 – 12

20

12 – 14

10

Suma

200

 

Porównajmy uczniów szkoły A i B. Obliczmy dla szkoły A z podanych wartości jeszcze współczynnik zmienności dla odchylenia standardowego, wskaźnik skośności oraz wyznaczmy medianę.

 

 

40

8 – 10

80

120

 

 

 

suma

200

 

 

Wyznaczmy teraz te same parametry dla uczniów szkoły B.

0 – 2

10

1

10

-6

36

360

2 – 4

20

3

60

-4

16

320

4 – 6

40

5

200

-2

4

160

6 – 8

60

7

420

0

0

0

8 – 10

40

9

360

2

4

160

10 – 12

20

11

220

4

16

320

12 – 14

10

13

130

6

36

360

Suma

200

x

1400

x

 

1680

pkt

 

Dominanta znajduje się w przedziale od 6 – 8.

Zwróćmy jednak uwagę na to, że dla pewnych przedziałów wartości cech są równe -  dla przedziałów odpowiednio okalających przedział dominanty. 40pkt w przedziałach 4 – 6 i 8 – 10; 20pkt w przedziałach 2 – 4 i 10 – 12 oraz 10pkt w przedziałach 0 – 2 i 12 – 14; z tego wniosek, że jest to szereg symetryczny, a w nim zawsze oraz .

 

Do obliczenia pozostał nam jedynie współczynnik zmienności dla odchylenia standardowego.

Przedstawmy parametry obu szkół w formie tabeli.

Parametr

A

B

5,8pkt

7pkt

10pkt

7pkt

 

 9,5pkt

 7pkt

1,7pkt

2,9pkt

20%

41,43%

-0,88

0

 

Interpretacja wyników dla szkoły A:

Uczniowie szkoły A uzyskali przeciętnie 8,5pkt, najczęściej dostawali 10pk. Połowa uczniów nie przekroczyła 8,5pkt. Przeciętne odchylenie od średniej arytmetycznej punktacji wynosi 1,7pkt. (wynik testu odchyla się przeciętnie od średniej arytmetycznej o 1,7pkt) Odchylenie standardowe stanowi 20% średniej arytmetycznej. Asymetria jest silna i ujemna. Większość uczniów uzyskała wyniki lepsze od średniej.

Szkoła B jest mniej zróżnicowana, lepiej wypadał szkoła A ponieważ uzyskała lepsze wyniki, mniej zróżnicowane, większość uczniów ma wyniki lepsze od średniej.

 

Zadanie14

Dane statystyczne dotyczące poziomu rocznej inflacji (styczeń ’98 – styczeń ’97) oraz długu publicznego (w %PKB) na koniec roku ’97 w krajach Unii Europejskiej przedstawiono w poniższej tablicy:

 

Kraj

Stopa Inflacji

Dług publiczny

Austria

1,2

66,1

Belgia

1,4

122,2

Dania

1,9

65,1

Finlandia

1,3

55,8

Francja

1,2

58

Grecja

5,2

108,7

Hiszpania

1,8

68,8

Holandia

1,8

72,1

Irlandia

1,2

66,3

Luksemburg

1,4

6,7

Niemcy

1,4

61,3

Portugalia

1,8

62

Szwecja

1,9

76,6

Wielka Brytania

1,8

53,4

Włochy

1,8

121,6

 

Porównać możliwie wszechstronnie strukturę krajów członkowskich pod względem obu cech.

 

Stopa inflacji

Stopa inflacji w badanych krajach UE odchyla się średnio od przeciętnej stopy inflacji w UE o +/- 0,95 pkt. procentowego co stanowi 52,8% średniej.

Asymetria prawostronna

Asymetrię porównujemy ze wzoru opartego o trzeci moment i sześcian odchylenia standardowego (mimo, że jest on bardziej pracochłonny w stosowaniu), ponieważ jest on bardziej preferowany i daje lepszy obraz rzeczywistości niż . Poza tym nie możemy wyznaczyć dominanty długu publicznego, więc nie moglibyśmy  wyznaczyć wskaźnika asymetrii  dla długu publicznego.

 

Dług publiczny

Odsetek długu publicznego odchyla się średnio od przeciętnej wartości tej cechy w krajach UE o około 30 pkt. procentowych, co stanowi 39,4% średniej

 

Asymetria dodatnia (prawostronna), większość krajów UE ma dług publiczny poniżej poziomu średniego.

Kraje piętnastki są bardziej zróżnicowane ze względu na stopę inflacji.

 

 

 

 
Jeżeli potrzebujesz pomocy w analizie danych, badaniu statystycznym lub wykonaniu testów wypełnij formularz

Dziś dostaniesz odpowiedz.

 

Powrót na główną Analiza danych