Miary klasyczne i pozycyjne

 

Wyślij formularz z plikiem

Statystyka zadania - oferta badań statystycznych

Analizy danych

Wykonuję analizy struktury, współzależności oraz dynamiki zjawisk. Badania wariancji, regresji liniowej i nieliniowej, korelacji, analiza rozkładu..

Testy statystyczne

Testowanie hipotez to
fundament większości
badań stanowiących
przedmiot statystyki.
Weryfikuję hipotezy
..

Oprogramowanie statystyczne

Używam wielu spośród znanych programów mi.n SttaisticaPL, Gretl, Statgraf, SPSS ,  i inne.

 
   

Wyślij do mnie formularz (klik Enter).

 

Możesz w nim załączyć dowolny plik tekstowy : doc (Word), .pdf (Acrobat Reader), txt , xls (Excel) lub inny.

Podaj też Twoje oczekiwania i adres email, na który mam odpowiedzieć.

Miary klasyczne i pozycyjne

 

Miary średnie klasyczne i pozycyjne

Miary średnie (położenia) dzielimy na:

1)      klasyczne

a.       średnia arytmetyczna

b.      średnia harmoniczna

c.       średnia geometryczna

d.      inne

2)      pozycyjne

a.       modalna (dominanta)

b.      kwartyle

                                                               i.      kwartyle (kwartyl pierwszy; drugi – mediana oraz trzeci)

                                                             ii.      decyle

                                                            iii.      percyle

                                                           iv.      inne

 

Miarami pozycyjnymi szczegółowo zajmiemy się w następnym punkcje.

 

Średnia arytmetyczna prosta
jest to suma wartości cechy mierzalnej podzielona przez liczbę jednostek skończonej zbiorowości (próby) statystycznej

 dla próby, dla całej zbiorowości

Wzór ten jest prawdziwy gdy dane są w postaci szeregu szczegółowego lub w ogóle nieuporządkowane.

 

Średnia arytmetyczna ważona

Stosujemy ją dla szeregów rozdzielczych punktowych lub przedziałowych według wzorów:

a.       szereg punktowy

stosunek sumy iloczynów wartości cechy i ilość jej wystąpienia przy danej wartości cechy do sumy liczebności wszystkich wystąpień cechy

b.      szereg przedziałowy

- środek i-tego przedziału

 

Własności średniej arytmetycznej:

-          teoretyczna (abstrakcyjna) wielkość niekoniecznie występująca w danej zbiorowości lub próbie

-          wielkość mianowana – gdyż ma takie samo miano jak badana cecha

-         

-          - w szeregu szczegółowym
suma różnic (odchyleń) poszczególnych wartości cechy od ich średniej arytmetycznej jest równa 0

-           - w szeregu rozdzielczym punktowym
suma ważonych (odchyleń) poszczególnych wartości cechy od ich średniej arytmetycznej jest równa 0

-           - w szeregu przedziałowym

 

Spośród wielu stałych jedynie średnia arytmetyczna spełnia następujący warunek:

 

Szereg szczegółowy

Szereg punktowy

Szereg przedziałowy

 

Obliczanie średnich arytmetycznych:

1)      Prosta
Oblicz średnią ocen: 3, 4, 4+, 4+, 5
, więc

2)      Ważona

a.       w szeregu punktowym

Ocena

2

10

20

3

51

153

3+

70

145

4

20

80

5

8

40

suma

159

538

                                   , więc

a.       w szeregu przedziałowym

0 – 2

10

1

10

2 – 4

20

3

60

4 – 6

40

5

200

6 – 8

60

7

420

8 – 10

40

9

460

10 – 12

20

11

220

12 – 14

10

13

130

Suma

200

 

1400

                 , więc

 

Dominanta (modalna) – D, Do, Mo – (średnia pozycyjna) wartość cechy statystycznej występująca najczęściej w badanym rozkładzie empirycznym. Jest to cecha mianowana.

Odczytujemy ją z szeregu, który wariant zachodzi najczęściej dla szeregu szczegółowego i rozdzielczego punktowego.

 

Przykład 1 – szereg szczegółowy

Badamy 15 klientów kiosku z prasą. Wydają oni w nim następujące kwoty w zł:

12, 15, 9, 8, 10, 10, 10, 9, 10, 6, 12, 13, 14, 9,18

D = 10 zł.

 

Przykład 2 – szereg punktowy

x – liczba dzieci pracowników pewnego przedsiębiorstwa

 

Liczba dzieci – x

Liczba pracowników - ni

 

 

0

12

 

 

1

23

 

 

2

30

 

D = 2 dzieci

3

25

 

 

4

10

 

 

100

 

 

 

 

 

Przykład 3 – szereg przedziałowy

Dla szeregu przedziałowego dominantę liczymy według następującego wzoru:

- początek przedziału dominanty

            - liczebność przedziału dominanty

            - liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty

            - liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty

            - rozpiętość przedziału dominanty

 

Badamy pracowników pod względem premii:

 

Wyskokość premii

Liczba pracowników

nisk

220 – 300

11

11

300 – 380

16

27

380 – 460

28

55

460 – 540

26

81

540 – 620

16

97

620 – 700

3

100

Razem

100

 

 

 

Własności dominanty:

-          nie można jej wyznaczyć w szeregach, w których występuje więcej niż jedno maksimum liczebności.
12, 15, 9, 8, 9, 15, 12, 14 - trimodalny

-          w szeregu rozdzielczym przedziałowym nie możemy wyznaczyć dominanty gdy rozpiętość przedziałów dominanty oraz przedziałów bezpośrednio z nią sąsiadujących są różne.

-          W szeregu rozdzielczym przedziałowym nie wyznaczamy dominanty algebraicznie jeśli występuje w skrajnych przedziałach (gdy rozkład badanej cechy jest skrajnie asymetryczny)

 

Graficzna metoda wyznaczania dominanty – wykreślenie histogramu liczebności rozkładu

 

 

 

Zadanie

Wyniki sprawdzianu testowego z matematyki pierwszego studenta były lepsze od średniej obliczonej dla pięcioosobowej grupy o 2 punkty. Drugiego niższy o 1,5 punkty, trzeciego wyższy o 1,5 pkt, czwartego wyższy o 0,5 pkt. Jaki wynik uzyskali poszczególni studenci jeżeli średnia arytmetyczna wynosiła 20 pkt.?

 

Skorzystajmy z własności:

, tak więc

 

 


 

Kwartyle

wartości cechy statystycznej, które dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek i części te pozostają do siebie w określonych proporcjach.

 

 

 


 

Pole tekstowe: Xmin    Q1         Q2          Q3        Xmax

 

Kwartyle -

 

 

 –

dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości poniżej bądź równe kwartylowi, a pozostałe 75% wyższe bądź równe kwartylowi pierwszemu.

mediana – dzieli zbiorowość na dwie równe zbiorowości; połowa jednostek ma wartości poniżej lub równe medianie, a druga połowa większe lub równe medianie.

 –

dzieli w ten sposób, że 75% - wartości mniejsze bądź równe, 25% większe bądź równe.

 

Decyle – dzielą zbiorowość na 10 równych części

Percentyle – dzielą zbiorowość na 100 równych części

 

Dla szeregu szczegółowego medianę wyznaczamy ze wzoru:

 

Żeby odnaleźć medianę trzeba uporządkować szereg (szczegółowy).

a) 6, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 13, 14, 15, 18

 

 

Wyznaczając kwartyle pierwszy i trzeci dla szeregu a) postępujemy następująco:

 

 

Mediana dla szeregu rozdzielczego punktowego -  wyznaczamy liczebności skumulowane

 

Liczba dzieci –

Liczba pracowników -

0

12

12

1

23

35

2

30

65

3

25

90

4

10

100

100

X

 

Wyznaczamy najpierw numer mediany

 

Odnajdujemy teraz w liczebnościach skumulowanych pierwszą liczbę większą, bądź równą 50 i odczytujemy dla niej wartość cechy  (wariant klasy w którym znalazła się osoba o .

Wniosek: Połowa pracowników ma dwójkę dzieci lub mniej, a druga połowa pracowników ma dwójkę dzieci lub więcej.

 

Mediana dla szeregu przedziałowego:

- początek przedziału mediany

- numer mediany

- liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany

- liczebność przedziału mediany

- rozpiętość przedziału mediany

 

Zbadajmy ponownie pracowników pod względem premii

 

Wyskokość premii

Liczba pracowników

nisk

220 – 300

11

11

300 – 380

16

27

380 – 460

28

55

460 – 540

26

81

540 – 620

16

97

620 – 700

3

100

Razem

100

 

 

 

Kwartyl pierwszy:

 

Kwartyl trzeci:

 

Wskazówki dotyczące stosowania mediany:

-          Mediana oraz pozostałe kwartyle mogą być obliczane w tych przypadkach w których niemożliwe jest obliczenie średniej arytmetycznej lub dominanty

-          Mediana nie reaguje na nietypowe wartości cech statystycznych

-          Mediana posiada własność:

-          W szeregach symetrycznych spełniony jest warunek:

 

W sytuacji wystąpienia szeregów z otwartymi przedziałami klasowymi (pojawiają się przy bardzo dużych rozpiętościach) rozpiętość szacunkowa – stała rozpiętośc przedziału wyraża się wzorem: , k – liczba przedziałów.

Jeśli mamy orientacje co do maksimum czy minimum danej cechy, to możemy domknąć przedziały, jeśli domkniemy to możemy wyznaczyć średnią arytmetyczną

Jeśli nie znamy tych wartości to rezygnujemy ze średniej arytmetycznej na rzecz mediany

 

 

Zadanie:

Wyznacz medianę i dominantę w szeregu ocen z kartkówki: 4, 4+, 3, 5-, 2, 3, 3

 

Uporządkujmy go:

Do = 3

Ponieważ jest nieparzysta liczba obserwacją więc Me = 3

Średnia arytmetyczna wynosi około 3,5

 

Zadanie:

W pewnym przedsiębiorstwie mediana zarobków wynosiła 2 500 zł i znajdowała się w przedziale od 2 400 do 3 000. Pensje z tego przedziału miło 20% pracowników. Jaki procent pracowników zarabiał mniej niż 3 000zł.

 

 

 

2400-3000

20%

 

3000 więcej

 

100

suma

100

Xxx

 = 2500zł

 = 2400zł

=20

więc

Aby obliczyć ilu pracowników zarabiało nie miej niż 3000 zł należy wykonać zsumować znaną już wartość skumulowaną przedziału poprzedzającego przedział mediany z liczebnością przedziału mediany.

67 osób zarabiało nie mniej niż 3 000zł.

 

 

 
Jeżeli potrzebujesz pomocy w analizie danych, badaniu statystycznym lub wykonaniu testów wypełnij formularz

Dziś dostaniesz odpowiedz.

 

Powrót na główną Analiza danych

 

 


Prognozowanie i symulacje |