Rachunek indeksowy

Bardzo często w analizie dynamiki zjawisk nie dysponujemy wszystkimi informacjami wyjściowymi z szeregu, zatem musimy stosować rachunek indeksów czyli musimy zmienić ciąg indeksów jednego rodzaju na ciąg indeksów innego rodzaju.

Zwykle wyróżniamy trzy sytuacje:

a. Z ciągu indeksów łańcuchowych na ciąg indeksów o stałej podstawie (mnożąc kolejno przez )

b. Indeksy o stałej podstawie zamieniamy na indeksy łańcuchowe (przez dzielenie)

c. Indeksy o stałej danej podstawie zamieniamy na indeksy o stałej innej podstawie (mnożenie i/lub dzielenie zależnie od położenia w szeregu)

Uwaga: Indeksy możemy tylko mnożyć, dzielić, odwracać i pierwiastkować.

Indeksy indywidualne pozostają w bezpośrednim związku z przyrostami względnymi.

Weźmy przykładową tabele:

Lata
1989	---
1990	101
1991	112
1992	103
1993	116
1994	84
1995	104
1996	103
1997	105
1998	94

Zamiana indeksu łańcuchowego na jednopodstawowy

, więc analogicznie

Zmiana indeksów jednopodstawowych w łańcuchowe

Zamiana podstaw w indeksach jednopodstawowych

Mamy, że 1990r. = 100, a chcemy mieć 1992r. = 100

Zadanie

Poniższa tablica przedstawia wskaźniki przeciętnych miesięcznych wynagrodzeń nominalnych netto

Lata	Rok 1990 = 1,00	Rok poprzedni = 1,00
1992	2,370	---
1993	3,112	1,313
1994	4,136	1,329
1995	5,451	1,318
1996	6,906	1,267
1997	8,529	1,235
1998	9,979	1,170

Zamieniamy indeksy jednopodstawowe na łańcuchowe.

, więc

postępujemy w ten sposób dla wszystkich kolejnych pozycji.

Zadanie

Wskaźniki cen towarów i usług konsumpcyjnych

Lata	Rok poprzedni = 1,00	Rok 1995 = 1,00
1992	1,424
1993	1,346	0,603
1994	1,307	0,789
1995	1,268	1,000
1996	1,194	1,194
1997	1,148	1,370
1998	1,116

i.t.d.

Zadanie

W pewnym zakładzie w latach 1993 – 1995 zbadano dynamikę zatrudnienia. Na dzień 31 XII 1993 zakład zatrudniał 50 osób. Wiadomo też, że przy przyjęciu roku 1994 za podstawę porównań liczba zatrudnionych pracowników wzrosła w porównaniu z rokiem 1995 o 2%, zaś w 1994 w porównaniu z 1993 zatrudnienie wzrosło o 4%

Przedstaw dane w szeregu czasowym. Oblicz stan zatrudnienia w pozostałych latach oraz brakujące indeksy. Zinterpretuj.

Dane wyjściowe umieszczamy w tabeli:

Rok	Poziom -
1993	50	---	0,96
1994			1,00
1995		1,02	1,02

Po policzeniu otrzymujemy:

Rok	Poziom -
1993	50	---	0,96
1994			1,00
1995		1,02	1,02

W roku 1994 w stosunku do 1993 zatrudnienie wzrosło o 4%

W roku 1995 w stosunku do 1994 zatrudnienie wzrosło o 2%.

Zadanie

Globalny wynik testu przydatności zawodowej pracowników placówki pogotowia przedstawia zestawienie:

miesiąc	wynik w punktach
styczeń	128
luty	136
marzec	134
kwiecień	140
maj	142

1) Jaki jest przeciętny miesięczny wynik testu?

2) Oblicz indeksy indywidualne

Ad1

Ad2

miesiąc	wynik w punktach
styczeń	128	1,00
luty	136	1,0625
marzec	134	1,0468
kwiecień	140	1,0937
maj	142	1,1094

Indeksy agregatowe dla wielkości absolutnych

W praktyce badań ekonomicznych konieczne bywa obliczenie indeksów dynamiki zespołu zjawisk (np. wyznaczenie dynamiki produkcji niejednorodnych (niesumowalnych) produktów) Indeksy stosowane w takich przypadkach naszą nazwę indeksów agregatowych (zespołowych).

Dla poszczególnych produktów (j) wchodzących w skład agregatu można również wyznaczyć indywidualne indeksy ilości (q) oraz cen (p).

- ilości dobra i w okresie badanym

- ilość dobra w okresie bazowym

- ilości dobra i w okresie badanym

- ilość dobra w okresie bazowym

- wartość produktu (dobra) j

Miedzy poszczególnymi indeksami indywidualnymi zachodzi relacja określana mianem równości indeksowej:

(nie jest to może zbyt błyskotliwe, ale bardzo przydatne w zadaniach)

Agregatowy indeks wartości:

Indeks ten informuj o łącznych zmianach wartości wszystkich produktów w okresie bądź momencie badanym w stosunku do okresu lub momentu podstawowego.

wartość wszystkich produktów składających się na ten agregat wzrosła o 3% w stosunku do okresu (momentu) bazowego. Przy czym wzrost ten może wynikać zarówno ze zmian cen jak i ze zmian ilość poszczególnych produktów wchodzących w skład agregatu.

Aby odpowiedzieć na pytanie jaki wpływ na dynamikę wartości agregatu ma każdy czynnik z osobna należy przyjąć drugi czynnik jako stały w porównywanych okresach bądź momentach.

Agregatowy index ilości określa wpływ zmiany ilości produktu na dynamikę jego wartości przy cenach na poziomie stałym:

1) z okresu badanego – wyznaczamy indeks według formuły Paasche’go

2) z okresu bazowego – wyznaczamy indeks według formuły Laspeyresa

Agregatowy indeks ilości według formuły Laspeyresa

= 1,05 – ilość całego agregatu zwiększyła się o 5% przy założeniu, że cena w roku badanym była na poziomie ceny w roku podstawowym

Formuła ta jest arytmetyczną średnią ważoną indywidualnych wskaźników dynamiki ilości a wagami są indywidualne wartości z okresu podstawowego.

gdzie

- indywidualne wskaźniki struktury wartości produkcji w okresie podstawowym, ponadto

Agregatowy indeks ilości według formuły Paschego

Zwróćmy jeszcze uwagę na mianowniki dwóch ostatnich równości, są to średnie harmoniczne ważone indywidualnych indeksów cen a wagami są:

- indywidualne wartości z okresu sprawozdawczego

- wskaźniki struktury wartości z okresu sprawozdawczego

Agregatowy indeks cen według formuły Pashego mówi nam jak zmieniałyby się wartości naszego agregatu w okresie sprawozdawczym w porównaniu z okresem podstawowym gdyby ilości agregatu były stałe, na poziomie okresu sprawozdawczego, czyli de facto mówi o dynamice cen wchodzących w skład.

ilość całego agregatu zwiększyła się o 3% przy założeniu, że ceny w okresie podstawowym przyjmiemy na poziomie roku bazowego.

Między zdefiniowanymi wyżej indeksami agregatowymi zachodzi związek (podobnie jak między indeksami indywidualnymi) określany mianem równości (zależności) indeksowej

Oraz formuła Fishera

Uwaga: nie ma ona interpretacji ekonomicznej.

Zadanie

Załóżmy, że

W kwietniu w porównaniu z lutym wydatki Kowalskiego spadły o 7,7% (). Kupował on o 1,5% () więcej produktów przy założeniu stałych cen na poziomie lutego, ale ceny spadły o 9,1% () przy założeniu, że ilości produktów kupionych w lutym przyjmują wartości na poziomie kwietnia. Stąd wnioskujemy większy wpływ cen na zmiany wartości.

Indeksy agregatowe dla wielkości stosunkowych

Zespołowe indeksy dla wielkości stosunkowych obliczamy bardzo podobnie jak dla wielkości absolutnych.

Weźmy np. średnią wydajność pracy – produkujemy ten sam wyrób w trzech różnych firmach.

- wydajność pracy (cząstkowa)

- produkcja

- liczba zatrudnionych lub czas pracy, lub oba te czynniki razem
(struktura zatrudnienia)

Średnie arytmetyczna ważona wydajności pracy.

, gdzie v to cząstkowe wydajności pracy

Wszechstronny indeks średniej wydajności pracy:

Pokazuje on jak zmieniła się średnia wydajność pracy w okresie sprawozdawczym (n) w stosunku do okresu bazowego (o)

Na indeks wszechstronny wywierają wpływ zarówno zmiany w poziomie indywidualnych wskaźników, charakteryzujących poszczególne elementy należące do agregatu, jak i zmiany w strukturze tego zespołu.

1) W celu wyodrębnienia wpływu zmian w cząstkowych wydajnościach pracy zakładamy, stałą strukturę z okresu podstawowego

jak zmieniłaby się średnia wydajność pracy gdyby struktura zatrudnienia była taka sama jak w okresie podstawowym (bazowym)
Indeks ten mówi o zmianach w cząstkowych wydajnościach pracy.

2) Jak zmienia się struktura, gdy cząstkowe wydajności pracy są stałe

jak zmieniała by się średnia wydajność pracy gdyby cząstkowe wydajnosci były stałe na poziomie okresu sprawozdawczego, czyli mówi nam o wpływie zmian w strukturze zatrudnienia.

Kolejna już zależność wektorowa

(stała struktura ; zmiana struktury)

Zadanie

Na podstawie danych z tabeli przeprowadzić przy pomocy odpowiednich indeksów analizę dynamiki wydajności pracy w przedsiębiorstwie X. Wyniki zinterpretować.

Zakład	Wielkość produkcji w tonach		Średnia wielkość produkcji na pracownika
Zakład	1995 ()	1996 ()	1995 ()	1996 ()
A	3000	3300	10	11
B	1800	2400	9	12
C	4200	3600	14	10
Σ	9000	9300	33	33

Wydajność pracy do stosunek wielkość produkcji do liczby zatrudnionych, stąd

Wszechstronny indeks wydajności, jest stosunkiem średnich wydajności

Musimy więc obliczyć ilość zatrudnionych w poszczególnych zakładach przedsiębiorstwa X.

Zakład	Wlk. prod. w tonach		śr. wlk. prod. na prac.
Zakład	‘95	‘96	1995	1996
A	3000	3300	10	11	1,1	300	300
B	1800	2400	9	12	1,33	200	200
C	4200	3600	14	10	0,71	300	360
Σ	9000	9300	33	33		800	860

W roku 1996 w porównaniu z rokiem 1995 wydajność pracy zmalała o 4%

Obliczmy wpływ zmian wydajności pracy w poszczególnych zakładach na wydajność pracy w przedsiębiorstwie X.

Posłuży nam do tego indeks o stałej strukturze:

Uzupełnimy tabelę o konieczne obliczenia:

Potrzebujemy uzyskać sumę iloczynów wydajności z roku 96 i zatrudnienia z roku 95.

Zakład	Wlk. prod. w tonach		śr. wlk. prod. na prac.
Zakład	‘95	’96	1995	1996
A	3000	3300	10	11	300	3300
B	1800	2400	9	12	200	2400
C	4200	3600	14	10	300	3000
Σ	9000	9300	33	33	800	8700

Gdyby w obu okresach zatrudnienie było na poziomie roku 1995 to wyłącznie przez zmiany wydajności pracy w poszczególnych zakładach spowodowałyby spadek wydajności pracy w przedsiębiorstwie X o 3%.

Obliczmy wpływ zmiany struktury zatrudnienia w poszczególnych zakładach na wydajność pracy w przedsiębiorstwie X.

Indeks wpływu zmian struktury obliczymy wykorzystując nasze wcześniejsze obliczenia, w których obliczyliśmy zarówno indeks o stałej strukturze jak i indeks wszechstronny:

Gdyby wydajność pracy była na poziomie roku ’96 to wydajność pracy w poszczególnych przedsiębiorstwach zmalałaby o 1%. Spadek ten jest efektem zmian zatrudnienia w poszczególnych zakładach.

Większy wpływ na zmianę wydajności pracy w przedsiębiorstwie , bo jest bardziej dynamiczna.

Zmiany wydajności pracy w poszczególnych zakładach mają większy wpływ na wydajność pracy w całym przedsiębiorstwie X.