Analiza szeregu czasowego

 

Wyślij formularz z plikiem

Statystyka zadania - oferta badań statystycznych

Analizy danych

Wykonuję analizy struktury, współzależności oraz dynamiki zjawisk. Badania wariancji, regresji liniowej i nieliniowej, korelacji, analiza rozkładu..

Testy statystyczne

Testowanie hipotez to
fundament większości
badań stanowiących
przedmiot statystyki.
Weryfikuję hipotezy
..

Oprogramowanie statystyczne

Używam wielu spośród znanych programów mi.n SttaisticaPL, Gretl, Statgraf, SPSS ,  i inne.

 
   

Wyślij do mnie formularz (klik Enter).

 

Możesz w nim załączyć dowolny plik tekstowy : doc (Word), .pdf (Acrobat Reader), txt , xls (Excel) lub inny.

Podaj też Twoje oczekiwania i adres email, na który mam odpowiedzieć.

Analiza szeregu czasowego

 

Rodzaje szeregów czasowych

Szeregiem czasowym nazywamy ciąg wartości zmiennej uporządkowanej zgodnie z następstwem momentu lub wartości czasu , których tego dotyczą. Jest to zbiór obserwacji statystycznych charakteryzujących zmiany poziomu zjawiska w czasie. Poszczególne obserwacje nazywamy wyrazami tego szeregu. Szereg czasowy zapisujemy za pomocą symbolu, gdzie t reprezentuje kolejne momenty lub okresy czasu.
Wyróżnia się dwa rodzaje szeregu czasowego: szeregi momentów i okresów.

 

1

2

3

 

 

Czas jest zmienną niezależną – odkładamy go na osi OX.

Punkty empiryczne to zaobserwowane przez nas poziomy danego zjawiska w rzeczywistości

 

Średnie w szeregach czasowych

Przeciętny poziom zjawiska przedstawionego w postaci szeregu czasowego (przy założeniu równości przedziałów czasowych) oblicza się:

-         w przypadku szeregów okresów za pomocą średniej arytmetycznej

-         w przypadku szeregów momentów za pomocą średniej chronologicznej

 

Średnia chronologiczna:

 

Jedną z metod wygładzania szeregu czasowego jest metoda mechaniczna wykorzystująca średnie ruchome. Stosując metodę średnich ruchomych, doprowadzamy do wygładzenia szeregu czasowego przez częściowe eliminowanie wahań okresowych i przypadkowych.

 

Średnią ruchomą:

z nieparzystej liczby okresów np. z trzech okresów (k = 3) wyznacza się:

            

z parzystej liczby okresów (k = 4) tzw. średnią scentrowaną

 

Metody wyrównywania szeregów czasowych

Pierwsza czynność w dekompresji szeregu czasowego to tzw. „wyłagodzenie” szeregu czasowego, czyli odkrywanie głównej tendencji rozwojowej zjawiska.
W statystyce wyróżnia się dwie metody wyłagodzenia szeregów czasowych: mechaniczną i analityczną.

 

Metoda mechaniczna, czyli średnik ruchomy
średnia ruchoma k – elementowa.



Przyporządkowujemy ją środkowemu wyrazowi.
Średnie ruchome maja na celu wyeliminowanie w znacznym stopniu wahań o charakterze okresowym i przypadkowym. Może być parzysta (scentrowana) lub nie.

 

Metoda analityczna
polega na znalezieniu odpowiedniej funkcji matematycznej, która możliwie najlepiej odzwierciedliłaby główną tendencję rozwojową zjawiska eliminując przy tym wpływ wahań okresowych i przypadkowych.

 - empiryczne

 - teoretyczne


Równanie linii trendu:            

Wybieramy linie, która przebiega najbliżej punktów empirycznych.
Badamy różnice między
, a , aby stwierdzić jak blisko leżą siebie te krzywe. - jest to kryterium metody najmniejszych kwadratów – MNK.

Ta metoda może znaleźć zastosowanie wyłącznie w przypadku funkcji liniowych oraz takich nie liniowych, które dają się sprowadzić do postaci liniowej względem parametrów!!.

Podstawiając do równania:
, gdzie
a – współczynnik trendu
b – wyraz wolny.
Możemy więc otrzymać następujące wyniki:
 - trend malejący
 - trend stały
 - trend rosnący.


 

Rozwiązując to równanie względem niewiadomych a i b (obliczamy pochodne cząstkowe po a i po b i przyrównujemy do zera) otrzymujemy tzw. układ równań normalnych z którego b możemy wyznaczyć jako:

uwaga: w przypadku nieparzystej liczby obserwacji warto jest przyjąć takie wartości porządkowe t, żeby
 (np.: -2, -1, 0, 1, 2) wtedy układ znacznie się upraszcza.
, gdzie , reasumując
W ten sposób znaleźliśmy trend liniowy :]

 

Przykład

Dane roczne:

, gdzie:

                   - produkcja w tysiącach ton

        - średnioroczna zmiana

          - wartość produkcji w roku bazowym

Interpretacja: średnioroczny wzrost produkcji wynosi 441 ton.

 

 

Zadanie

Na podstawie informacji zbadać tendencje rozwojową sprzedaży zegarków pewnej marki. Zinterpretuj parametry linii trendu. Oszacować wielkość sprzedaży zegarków dla roku 2003.

Lata

Sprzedaż w tyś sztuk 

1998

23

1999

21

2000

20

2001

18

2002

18

Σ

100


 

Wyznaczmy równanie linii trendu postaci , gdzie

                                     

 

Zauważmy, że ponieważ n – liczba obserwacji jest nieparzysta, to możemy tak dobrać „t” aby były to takie kolejne liczby całkowite, żeby

Wtedy wzory te przyjmą o wiele prostszą formę i o wiele łatwiejszą do stosowania

                                                             

Uzupełnijmy naszą tabele o dodatkowe obliczenia:

Lata

t

1998

23

-2

-46

4

22,6

1999

21

-1

-23

1

21,3

2000

20

0

0

0

20

2001

18

1

18

1

18,7

2002

18

2

36

4

17,4

Σ

100

0

-13

10

 

                                        , więc

 

W latach 1998 – 2002 sprzedaż zegarków pewnej marki spadała przeciętnie z roku na rok o 1,3 tyś sztuk.

a = 20 – średnia roczna sprzedaż zegarków, wynosi ona 20tyś sztuk.

Wracając do tabeli możemy zauważyć, że dla t = 0 y = 20 – rok 2000.

 

Jaka będzie wielkość produkcji w 2003?

 tyś sztuk

Dekompozycja szeregu czasowego; główna tendencja rozwojowa, wahania okresowe i wahania przypadkowe

Na zmienność zjawiska w czasie maja wpływ trzy grupy czynników:

1)      czynniki główne
powodują one powstanie trendu – czyli głównej tendencji rozwojowej zjawiska

2)      wahania (czynniki o charakterze sezonowym)

3)      wahania lub czynniki przypadkowe, losowe

 

Zapiszmy to za pomocą modelu – czyli w sposób formalny:

 

Model addywny – daje się przedstawić w postaci sumy wielkości wywołujących działanie modelu.

W próbie czasowej n – elementowej

 

Model Multiplikatywny – polega na przedstawieniu  jako iloczynu dwóch czynników.

, gdzie:

                           - wielkość absolutna (czynniki główne) – w jednostkach

                 - wielkość względna (% lub ułamki dziesiętne) – szacowany błąd

 

 

Zarówno jedno podejście jak i drugie wymaga wyodrębnienia wpływu działania tych trzech czynników. W tym celu stosujemy specjalną procedurę zwaną dekompresją szeregu czasowego Pierwsza czynność w dekompresji szeregu czasowego to tzw. „wyłagodzenie” szeregu czasowego, czyli odnalezienie głównej tendencji rozwojowej zjawiska (patrz punkt wyżej). Ze względu na dalszą przydatność lepiej jest wyznaczyć równanie linii trendu. W tej sposób znajdziemy już wpływ trendu na rozwój zjawiska w czasie.

Zajmijmy się teraz wyznaczeniem wskaźników wahań okresowych (sezonowych).

Warunkiem ich wyznaczenia jest jednak dysponowanie szeregiem zdezagregatowanym bardziej niż rocznie.

 

Ogólna zasada ich konstrukcji wskaźników wahań okresowych wygląda następująco:

1)      Wygładzamy szereg czasowy metodą mechaniczną lub analityczną

2)      Uwalniamy szereg czasowy od trendu
W tym celu w szeregu czasowym wyznaczamy obok wartości empirycznych wartości teoretyczne.

1

2


Dla średnich ruchomych zakładamy, że
, dla równania trendu wyznaczamy prognozy ex post.
Następnie dzielimy wyrazy szeregu empirycznego przez odpowiadające im wyrazy szeregu wygładzonego            
,         .
Uzyskane w ten sposób wartości są niezależne od trendu ale zawierają wahania okresowe i przypadkowe.

3)      Eliminujemy wahania przypadkowe z wielkości .
Wyznaczamy w tym celu średnie arytmetyczne z wyrazów 
 dla jednoimiennych okresów (tj. okresów pochodzących z tej samej fazy wahań), otrzymane w ten sposób wartości oznaczamy symbolem  i nazywamy surowymi wskaźnikami wahań okresowych (załóżmy, że mamy dane kwartalne dla kolejnych pięciu lat, liczymy kolejno średnie arytmetyczne z wyrazów  odpowiadających kolejno pierwszym, drugim, trzecim i czwartym kwartałom)




Surowe wskaźniki informują nas o ile procent poziom zjawiska w danej fazie cyklu jest wyższy lub niższy od poziomu, jaki byłby osiągnięty gdyby nie było wahań, a rozwój następował zgodnie z trendem.

 

4)      Obliczmy teraz czyste (oczyszczone) wskaźniki wahań okresowych.
Surowe wskaźniki wahań okresowych dzieli się przez ich średnią arytmetyczną.
                                                                  
Suma tak otrzymanych wskaźników jest równa liczbie faz wahań, jest to podstawowa zależność w analizie badań okresowych
        k – liczba faz wahań

 

Interpretacja wskaźników sezonowości:

Mówią one nam o ile procent poziom zjawiska w danej fazie cyklu jest wyższy lub niższy od poziomu jaki byłby osiągnięty gdyby nie było wahań, a rozwój następowałby zgodnie z trendem (model multiplikatywny) lub od poziomu średniookresowego (np. średniej kwartalnej w skali rocznej) (model addywny)

 

Zgodnie z założonymi modelami pozostają nam do wyznaczenia wahania i czynniki przypadkowe.

W celu wyodrębnienia wahań przypadkowych (losowych) wyznaczamy tzw składnik resztowy

W oparciu o równanie linii trendu możemy prognozować przyszłe wartości y (exante), ale i prognozować przeszłe wartość cechy y (expost).

W celu określenia trafności prognoz wyznaczamy prognozy (ex post), czyli obliczamy wartości y dla

1

 

2

 

3

 

 

n

 

 


 

* i  - powinny być sobie równe

Dzięki różnicom możemy wyznaczyć tzw. składnik losowy  lub ,  jest to składnik resztowy, a następnie policzyć odchylenie standardowe tego składnika resztowego.

 

   - poziom zjawiska (w wielkościach absolutnych) będący wynikiem wpływu wahań okresowych z modelu addywnego.

         oczywiście                  

 

Załóżmy, że , wariancja składnika resztowego

Przy braku sezonowości:

Pierwiastek z wariancji jest zwany błędem prognozy (szacunku).

W naszych przypadkach (z i bez uwzględnienia sezonowości) wzory wyglądają następująco:

         oraz                

 

Zadanie

Na podstawie danych z tabeli oszacować wielkość produkcji tego artykułu w pierwszym kwartale 2004 roku.

Trzeba uwzględnić trend i sezonować (wskaźnik sezonowości), potem średni błąd prognozy.

C – wskaźnik sezonowości mówi nam o ile odchyla się od trendu.

 

Lata

Kwartały

Produkcja w tyś sztuk

1998

I

11,8

 

II

9,4

 

III

18,5

 

IV

11,5

1999

I

12,4

 

II

9,7

 

III

19,0

 

IV

10,6

2000

I

13,1

 

II

10,8

 

III

2-,3

 

IV

11,8

2001

I

12,4

 

II

12,2

 

III

21,9

 

IV

11,0

2002

I

13,5

 

II

12,8

 

III

23,5

 

IV

12,7

 

Uzupełnimy tabelę o dodatkowe obliczenia

lata / kwartały

1

 

2

3

4

5

6

7

8

1998

I

1

11,80

1,00

11,8

12,03

0,98

0,05

 

II

2

9,40

4,00

18,8

12,23

0,77

8,00

 

III

3

18,50

9,00

55,5

12,43

1,49

36,85

 

IV

4

11,50

16,00

46

12,63

0,91

1,28

1999

I

5

12,40

25,00

62

12,83

0,97

0,19

 

II

6

9,70

36,00

58,2

13,04

0,74

11,13

 

III

7

19,00

49,00

133

13,24

1,44

33,20

 

IV

8

10,60

64,00

84,8

13,44

0,79

8,07

2000

I

9

13,10

81,00

117,9

13,64

0,96

0,29

 

II

10

10,80

100,00

108

13,84

0,78

9,27

 

III

11

20,30

121,00

223,3

14,05

1,45

39,11

 

IV

12

11,80

144,00

141,6

14,25

0,83

5,99

2001

I

13

12,40

169,00

161,2

14,45

0,86

4,20

 

II

14

12,20

196,00

170,8

14,65

0,83

6,01

 

III

15

21,90

225,00

328,5

14,85

1,47

49,64

 

IV

16

11,00

256,00

176

15,06

0,73

16,45

2002

I

17

13,50

289,00

229,5

15,26

0,88

3,09

 

II

18

12,80

324,00

230,4

15,46

0,83

7,08

 

III

19

23,50

361,00

446,5

15,66

1,50

61,43

 

IV

20

12,70

400,00

254

15,86

0,80

10,01

suma

210

278,90

2870,00

3062,8

 

 

319,35

średnia

10,5

21,96

 

 

 

 

 

 

                       

                                  

Tak więc równanie linii trendu przybierze następującą postać:

Przystąpmy do dalszej części dekompozycji szeregu czasowego i wyznaczmy wskaźniki wahań okresowych.

1)      wyznaczyliśmy już równanie linii trendu

2)      uwolniliśmy szereg czasowy od trendu

3)      eliminujemy wahania przypadkowe:



4)      oczyszczamy wskaźniki wahań okresowych

Na dowód słuszność naszych obliczeń:

 

Wariancja składnika resztowego:        

Średni błąd prognozy:             

Oszacujmy wielkość produkcji w I kwartale 2004

lata\kwart

2003

I

21

 

 

II

22

 

 

III

23

 

 

IV

24

 

2004

I

25

16,87

Produkcja w I kwartale 2004 wyniesie szacunkowo (przy założeniu modelu multiplikatywnego)tyś sztuk tyś sztuk (średni błąd prognozy)

 

Szeregi czasowe jako podstawa przewidywań rozwoju zjawiska

Wiemy, że na zmienność zjawiska w czasie maja wpływ trzy grupy czynników:

1)      czynniki główne
powodują one powstanie trendu – czyli głównej tendencji rozwojowej zjawiska

2)      wahania (czynniki) o charakterze sezonowym

3)      wahania lub czynniki przypadkowe, losowe

 

Chcąc prognozować rozwój danego zjawiska w przyszłości musimy uwzględnić wpływ tych czynników. Problem lepiej zilustrują przykłady.

 

Przykładowo:

Dane kwartalne za lata 2000 – 2002, więc t = 1, 2, 3, ..., 12

kwartały

 wyznaczony metodą analityczną

I

0,694

II

0,947

III

1,508

IV

0,851

Znając równanie trendu postaci:                     oblicz jakiej produkcji piwa w tysiącach hektolitrów można się spodziewać w IV kwartale 2003r. przy założeniu modelu multiplikatywnego.

 

Będziemy rozpatrywać ostatni kwartał 2003r więc będzie to 16 kolejny kwartał od początku 2000r. Podstawmy  do równania linii trendu.

Zgodnie z założeniem modelu multiplikatywnego uwzględnijmy sezonowość w IV kwartale:

 

W IV kwartale 2003r można spodziewać się produkcji piwa na poziomie 9,1 tyś hektolitrów przy założeniu utrzymania tendencji.

 

 

 

 
Jeżeli potrzebujesz pomocy w analizie danych, badaniu statystycznym lub wykonaniu testów wypełnij formularz

Dziś dostaniesz odpowiedz.

 

Powrót na główną Analiza danych

 

 


Prognozowanie i symulacje |